Det eneste naturlige tallet som har en invers er $0$, siden $0 + 0 = 0$, som er identitetselementet for $+$. For alle andre naturlige tall, for eksempel $1$, finnes det ikke noe naturlig tall du kan plusse med $1$ og få $0$.
Kapitteltest – Kapittel 20
Test deg selv
Hvilke av påstandene er sanne?
Oppgave
Hvilke av disse er kommutative operasjoner?
Dette er en kommutativ operasjon. Siden for alle $x,y \in \mathbb{R}$, er det slik at $x+y = y+x$. Sagt på en annen måte, rekkefølgen til argumentene har ikke betydning.
Dette er ikke en kommutativ operasjon, fordi det ikke engang er en operasjon. En binær operasjon er definert som en funksjon fra $A \times A$ til $A$. I mengden vår kan vi finne et par av elementer som ved bruk av minus-funksjonen ikke gir et nytt tall i mengden vår $A=\mathbb{Q}\setminus \mathbb{N}$. Et eksempel på det er $\frac{3}{2} + (- \frac{1}{2}) = 1 \ikkei A$.
Denne er kommutativ, fordi rekkefølgen på argumentene i unionoperasjonen ikke endrer resultatet, det vil si at $X \cup Y = Y \cup X$ for alle mengder $X,Y$.
Denne er ikke kommutativ, siden det ikke stemmer at $x - y = y - x$ for alle $x,y \in \mathbb{Z}$; et moteksempel er $1-2 \ikkelik 2-1$. Rekkefølgen på argumentene spiller altså en rolle.
Denne er kommutativ. Siden mengden operasjonen er definert på kun inneholder $1$ og $2$, er det bare disse elementene vi kan bytte rekkefølge på, så det holder å sjekke om $R(1,2)$ og $R(2,1)$ gir samme svar. Og det gjør det, siden $R(1,2) = R(2,1) = 2$.
Oppgave
Hvilke av disse tallene har en invers for operasjonen $+$ på de naturlige tallene?
Oppgave
Sammen med hvilke av disse operasjonene utgjør mengden $G = \mathbb{R} \setminus \set{0}$ en gruppe?
Identitetselementet til $+$ er $0$, som ikke er med i $G$. Da er ikke $+$ en operasjon på $G$, siden $G$ ikke er lukket under addisjon. For eksempel er $4 + (-4) = 0$, som ikke er et element i $G$.
Identitetselementet til $-$ er $0$, som ikke er med i $G$. Da er ikke $-$ en operasjon på $G$, siden $G$ ikke er lukket under subtraksjon. For eksempel er $5 - 5 = 0$, som ikke er et element i $G$.
Multiplikasjon utgjør en gruppe sammen med $G$. Multiplikasjon er en operasjon på $G$, alle elementer har en invers, nemlig $\frac{1}{x}$, og det finnes et identitetselement, nemlig $1$.
Deling er en operasjon på $G$, alle elementer har en invers og $1$ er et identitetselement, men deling er ikke assosiativt. Det er forskjell på $1/(2/3)$ og $(1/2)/3$.