$\langle \mathbb{N}, + \rangle$, de naturlige tallene under addisjon, er ikke en gruppe. $0$ er et identitetselement, men bortsett fra $0$ har ingen andre elementer i $\mathbb{N}$ en invers siden vi ikke har med negative tall i $\mathbb{N}$.

$\langle \mathbb{R}, + \rangle$, de reelle tallene under addisjon, er en gruppe. $+$ er assosiativ, $0$ er et identitetselement, og alle elementer $x$ har en invers $-x$.

$\langle \mathbb{R}, \cdot \rangle$, de reelle tallene under multiplikasjon, er ikke en gruppe. $1$ er et identietselement, men $0$ har ingen invers $i$ slik at $0 \cdot i = i \cdot 0 = 1$. Siden ikke alle elementene har en invers, er ikke dette en gruppe. Hvis vi tar vekk $0$ slik at vi får $\langle \mathbb{R} \setminus 0, \cdot \rangle$, de reelle tallene bortsett fra tallet $0$ under multiplikasjon, så har vi en gruppe.

$\langle A, \circ \rangle$ med $A$ og $\circ$ som definert over er en gruppe. $\circ$ er en assosiativ operasjon på $A$, det finnes et identitetselement for $\circ$, memlig $1$, og alle elementer har en invers, nemlig seg selv.

$\bbN$ er ikke en gruppe sammen med $+$. Det er fordi ikke alle naturlige tall har en invers. For eksempel finnes det ikke noe naturlig tall $n$ slik at $x+2=0$.

$M$ er ikke en gruppe sammen med $+$. Det er fordi $M$ ikke har et identitetselement for $+$. Den er heller ikke lukket under addisjon, for hvert par av elementer fra $M$ plusset sammen gir ikke et nytt tall i $M$. For eksempel er $(-1) + 1 = 0$, som ikke er et element i $M$. Derfor er heller ikke $+$ en operasjon på $M$.