La $f : \{1,2,3,4\} \rightarrow \{1,2,3,4\}$ være funksjonen $f = \{ \langle 1,3 \rangle, \langle 2,1 \rangle, \langle 3,4 \rangle, \langle 4,2 \rangle \}$.
$f^{-1}(1) =$
$f^{-1}(2) =$
$f^{-1}(3) =$
$f^{-1}(4) =$
$f^{-1}(f(2)) =$
$f^{-1}(1) = 2$ siden $f(2) = 1$. ( $f(2) = 1$ siden $\langle 2,1 \rangle \in f$ .)
$f^{-1}(2) = 4$ siden $f(4) = 2$.
$f^{-1}(3) = 1$ siden $f(1) = 3$.
$f^{-1}(4) = 3$ siden $f(3) = 4$.
$f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(1) = 2$.
$f^{-1}(f(x))$ er alltid lik $x$.
Hvilke av disse funksjonene har en invers?
Denne er bijektiv, så den har en invers.
Denne er ikke injektiv, og har derfor ikke en invers. Den er ikke injektiv siden både $1$ og $2$ i definisjonsområdet sendes til $1$ i verdiområdet (og siden både $3$ og $4$ i definisjonsområdet sendes til $2$ i verdiområdet).
Denne er ikke surjektiv, og har derfor ikke en invers. Den er ikke surjektiv, siden det ikke er noe element i definisjonsområdet som sendes til elementet $1$ i verdiområdet.
Denne er både injektiv og surjektiv, så den har invers. Den inverse funksjonen til $f$ er funksjonen $f^{-1}(y) = y - 1$ fra $\mathbb{Z}$ til $\mathbb{Z}$.
Funksjonen $f$ er injektiv fordi hvis $f(x_1) = f(x_2) = y$, så er $y = x_1 + 1$ og $y = x_2 + 1$, og dermed er $x_1 = x_2 = y - 1$.
(Hvis to elementer i definisjonsområdet sendes til samme element i verdiområdet, så er de to elementene i definisjonsområdet like.)
Funksjonen $f$ er surjektiv siden det for alle $y \in \mathbb{Z}$ finnes en $x = y - 1 \in \mathbb{Z}$ slik at $x + 1 = y$.
Denne er hverken injektiv eller surjektiv, så den har ikke en invers. Den er ikke injektiv siden $g(2) = g(-2) = 4$. Den er ikke surjektiv siden det ikke fines noen $x \in \mathbb{R}$ slik at $g(x) = -5$.