De to ekvivalensklassene er $\left\{ 1,2,4 \right\}$ og $\left\{ 3,5 \right\}$, for elementene i disse mengdene blir relatert med hverandre gjennom ekvivalensrelasjonen.
Definisjon: Ekvivalensklasse
Utfordring
La oss lage en ekvivalensrelasjon $R$ på mengden $M = \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$. En ekvivalensrelasjon er en binær relasjon på en mengde som er refleksiv, transitiv og symmetrisk (definisjon 6.5).
- Siden $R$ skal være refleksiv må $\langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle, \langle 4, 4 \rangle, \langle 5, 5 \rangle \in R$.
- La oss også si at $\langle 1, 2 \rangle \in R$. Da må også $\langle 2, 1 \rangle \in R$ siden $R$ skal være symmetrisk.
- La oss også si at $\langle 1, 4 \rangle \in R$. Da må $\langle 4, 1 \rangle, \langle 2, 4 \rangle, \langle 4, 2 \rangle \in R$ siden $R$ skal være transitiv og symmetrisk.
- La også $\langle 3, 5 \rangle \in R$. Da må også $\langle 5, 3 \rangle \in R$ siden $R$ er symmetrisk.
Tegn først opp denne relasjonen som fem prikker med piler mellom seg. Ser du at ekvivalensrelasjonen «binder sammen» elementene i ulike grupper?
Hvor mange ekvivalensklasser gir denne ekvivalensrelasjonen opphav til?
Utfordring
La $R$ være følgende relasjon.
$$ \big\{ \langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle, \langle 4, 4 \rangle, \langle 5, 5 \rangle, \langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 1, 4 \rangle, \langle 4, 1 \rangle, \langle 2, 4 \rangle, \langle 4, 2 \rangle, \langle 3, 5 \rangle, \langle 5, 3 \rangle \big\} $$
Hvilke elementer finner vi i ekvivalensklassen til elementet $1$?
Utfordring
La $R$ være følgende relasjon.
$$ \big\{ \langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle, \langle 4, 4 \rangle, \langle 5, 5 \rangle, \langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 1, 4 \rangle, \langle 4, 1 \rangle, \langle 2, 4 \rangle, \langle 4, 2 \rangle, \langle 3, 5 \rangle, \langle 5, 3 \rangle \big\} $$
Hvilke elementer finner vi i ekvivalensklassen til elementet $5$?