Kapitteltest – Kapittel 16
Test deg selv
Hvilke(n) av disse formlene er logisk ekvivalent med $\forall x (Px \lor Qx)$?
Alle elementer i domenet må ikke oppfylle $P$ for at ethvert element i domenet oppfyller enten $P$ eller $Q$, som er det formelen i oppgaven betyr.
Formelen i oppgaven sier at alle elementer i domenet oppfyller enten $P$ eller $Q$. Da finnes det ikke nødvendigvis et element som oppfyller begge deler, og dermed er formlene ikke ekvivalente.
Flytter vi negasjonstegnet innenfor eksistenskvantoren, kan vi endre kvantoren til allkvantor, og den nye formelen vil være ekvivalent med den opprinnelige formelen. De to negasjonstegnene kan da fjernes, og vi ser at formelen er nøyaktig lik den i oppgaven.
Formelen $(\lnot Px \rightarrow Qx)$ er ekvivalent med $(Px \lor Qx)$, og dermed er $\forall x ( \neg Px \rightarrow Qx)$ ekvivalent med formelen i oppgaven.
Test deg selv
Hvilke(n) av disse formlene er en logisk konsekvens av $\exists x Px \land \forall x (Px \to Qx)$?
Siden vi vet at det finnes et element i domenet som oppfyller $P$, og at alle elementer som oppfyller $P$ også oppfyller $Q$, er dette en logisk konsekvens av formelen i oppgaven.
Et moteksempel er modellen $M$ med domenet $\set{1,2}$, $P^M = \set{1}$ og $Q^M = \set{1}$.
Samme moteksempel som på alternativet over fungerer her også.
Vi vet at alle elementer som oppfyller $P$ også oppfyller $Q$, og at det finnes ett element i domenet som oppfyller $P$. Vi vet da at dette ene elementet også oppfyller $Q$, og dermed er dette en logisk konsekvens av formelen i oppgaven.
Test deg selv
Hvilke(n) av disse påstandene er sanne?
Det kan finnes ett element i domenet som oppfyller $P$, og et annet som oppfyller $Q$, uten at det finnes ett element i domenet som oppfyller begge samtidig.
La for eksempel relasjonen $R = \set{\langle 1, 2 \rangle, \langle 1,1 \rangle}$ være definert på $\set{1,2}$. Da oppfyller $R$ formelen, og den er ikke lik identitetsrelasjonen.