Tolkning av lukkede formler
Test deg selv
Gitt et førsteordens språk med signatur $\langle \text{a}; ; P, Q, R \rangle$ slik at relasjonssymbolene $P$ og $Q$ har aritet $1$ og relasjonssymbolet $R$ har aritet $2$, og la $\mathcal{M}$ være en modell for språket slik at
- $\left\vert \mathcal{M} \right\vert = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$,
- $a^\mathcal{M} = 3$,
- $P^\mathcal{M} = \{0,2,4,6,8\}$,
- $Q^\mathcal{M} = \{0,1,2,3,4\}$ og
- $R^\mathcal{M} = \{ \langle 0,1 \rangle, \langle 2,3 \rangle, \langle 4,5 \rangle, \langle 5,4 \rangle, \langle 6,7 \rangle, \langle 8,9 \rangle \}$.
Hvilke av disse formlene er sanne i $\mathcal{M}$?
$a^\mathcal{M} = 3 \in Q^\mathcal{M}$, så $\mathcal{M} \models Qa$, så $\mathcal{M} \models Pa$ eller $\mathcal{M} \models Qa$, så $\mathcal{M} \models ( Pa \lor Qa )$.
$\overline{5}^\mathcal{M} = 5 \ikkei Q^\mathcal{M}$, så $\mathcal{M}\ernot\models Q(\overline{5})$.
Det finnes elementer i $\left\vert \mathcal{M} \right\vert$ som ikke er med i $P^\mathcal{M}$, så denne formelen er ikke sann i modellen.
Denne formelen er sann siden det finnes et element i $\left\vert \mathcal{M} \right\vert$ som er med i både $P^\mathcal{M}$ og $Q^\mathcal{M}$ (for eksempel $2$).
Denne formelen er sann siden det for alle $x \in \left\vert \mathcal{M} \right\vert$ er slik at hvis $x \in P^\mathcal{M}$, så finnes det en $y \in \left\vert \mathcal{M} \right\vert$ slik at $\langle x, y \rangle \in R^\mathcal{M}$.
Denne formelen er ikke sann siden det finnes en $x \in \left\vert \mathcal{M} \right\vert$ og en $y \in \left\vert \mathcal{M} \right\vert$, slik at $\langle x, y \rangle \in R^\mathcal{M}$ og $x \ikkei P^\mathcal{M}$. Vi har nemlig at $\langle 5,4 \rangle \in R^\mathcal{M}$ og $5 \ikkei P^\mathcal{M}$.
Denne formelen er sann i modellen fordi det for alle tupler $\langle x, y \rangle \in R^\mathcal{M}$ er slik at $x \in P^\mathcal{M}$ eller $y \in P^\mathcal{M}$.
Denne formelen er sann i modellen fordi det finnes et element $x \in \left\vert \mathcal{M} \right\vert$ slik at $x \in P^\mathcal{M}$, $x \in Q^\mathcal{M}$ og $\langle x, 3 \rangle \in R^\mathcal{M}$. $2$ er et slikt element.
Denne formelen er sann i $\mathcal{M}$ fordi $4, 5 \in \left\vert \mathcal{M} \right\vert$ og vi har at $\langle 4, 5 \rangle \in R^\mathcal{M}$ og $\langle 5,4 \rangle \in R^\mathcal{M}$.