Eksempel: Tolkning av en atomær formel
Test deg selv
Gitt et språk med konstantsymboler $\text{a}, \text{b}, \text{c}, \text{d}$ og funksjonssymboler $f, g$ og en modell $\mathcal{M}$ med domene $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ slik at:
- $\text{a}^{\mathcal{M}} = 1$, $\text{b}^{\mathcal{M}} = 2$, $\text{c}^{\mathcal{M}} = 3$, $\text{d}^{\mathcal{M}} = 4$,
- $f^{\mathcal{M}} = \left\{ \langle 1, 4 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 4, 3 \rangle \right\}$ og
- $g^{\mathcal{M}}$ er funksjonen som tar to tall fra domenet som argumenter og gir det største av tallene som verdi.
Vi utvider språket med relasjonssymbolet $P$ med aritet $1$, og tolker $P$ i modellen slik at $P^{\mathcal{M}} = \left\{ 2, 3 \right\}$.
Hvilke av disse atomære formlene er sanne i modellen?
$P(\text{a})$ er usann i $\mathcal{M}$ fordi $\text{a}^\mathcal{M} = 1 \ikkei P^\mathcal{M}$.
$P(\text{b})$ er sann i $\mathcal{M}$ fordi $\text{b}^\mathcal{M} = 2 \in P^\mathcal{M}$.
$P\big(f(\text{a})\big)$ er usann i $\mathcal{M}$ fordi $f(\text{a})^\mathcal{M} = f^\mathcal{M}(\text{a}^\mathcal{M}) = f^\mathcal{M}(1) = 4 \ikkei P^\mathcal{M}$.
$P\big(f(\text{d})\big)$ er sann i $\mathcal{M}$ fordi $f(\text{d})^\mathcal{M} = f^\mathcal{M}(\text{d}^\mathcal{M}) = f^\mathcal{M}(4) = 3 \in P^\mathcal{M}$.
$P\big(f(f(\text{d}))\big)$ er sann i $\mathcal{M}$ fordi $f(f(\text{d}))^\mathcal{M} = f^\mathcal{M}(f(\text{d})^\mathcal{M}) = f^\mathcal{M}(f^\mathcal{M}(\text{d}^\mathcal{M})) = f^\mathcal{M}(f^\mathcal{M}(4)) = f^\mathcal{M}(3) = 2 \in P^\mathcal{M}$.
$P\big(g(\text{a}, \text{b})\big)$ er sann i $\mathcal{M}$ fordi $g(\text{a}, \text{b})^\mathcal{M} = g^\mathcal{M}(\text{a}^\mathcal{M}, \text{b}^\mathcal{M}) = g^\mathcal{M}(1, 2) = 2 \in P^\mathcal{M}$.
$P\big(g(\text{c}, \text{d})\big)$ er usann i $\mathcal{M}$ fordi $g(\text{c}, \text{d})^\mathcal{M} = g^\mathcal{M}(\text{c}^\mathcal{M}, \text{d}^\mathcal{M}) = g^\mathcal{M}(3, 4) = 4 \ikkei P^\mathcal{M}$.
Test deg selv
Gitt et språk med konstantsymboler $\text{a}, \text{b}, \text{c}, \text{d}$ og funksjonssymboler $f, g$ og en modell $\mathcal{M}$ med domene $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ slik at:
- $\text{a}^{\mathcal{M}} = 1$, $\text{b}^{\mathcal{M}} = 2$, $\text{c}^{\mathcal{M}} = 3$, $\text{d}^{\mathcal{M}} = 4$,
- $f^{\mathcal{M}} = \left\{ \langle 1, 4 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 4, 3 \rangle \right\}$ og
- $g^{\mathcal{M}}$ er funksjonen som tar to tall fra domenet som argumenter og gir det største av tallene som verdi.
Vi utvider språket med relasjonssymbolet $Q$ med aritet $2$ og tolker $Q$ i modellen slik at $Q^{\mathcal{M}} = \left\{ \langle 1, 2 \rangle, \langle 1, 3 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 2, 4 \rangle \right\}$.
Hvilke av disse atomære formlene er sanne i modellen?
$Q(\text{a}, \text{c})$ er sann i modellen fordi $\langle \text{a}^\mathcal{M}, \text{c}^\mathcal{M} \rangle = \langle 1, 3 \rangle \in Q^\mathcal{M}$.
$Q(\text{c}, \text{b})$ er usann i modellen fordi $\langle \text{c}^\mathcal{M}, \text{b}^\mathcal{M} \rangle = \langle 3, 2 \rangle \ikkei Q^\mathcal{M}$.
$Q(\text{c}, \text{d})$ er usann i modellen fordi $\langle \text{c}^\mathcal{M}, \text{d}^\mathcal{M} \rangle = \langle 3, 4 \rangle \ikkei Q^\mathcal{M}$.
$Q\big(f(\text{c}), \text{d} \big)$ er sann i modellen fordi $\langle f(\text{c})^\mathcal{M}, \text{d}^\mathcal{M} \rangle = \langle f^\mathcal{M}(\text{c}^\mathcal{M}), 4 \rangle = \langle f^\mathcal{M}(3), 4 \rangle = \langle 2, 4 \rangle \in Q^\mathcal{M}$.
$Q\big(\text{a}, g(\text{b}, \text{c}) \big)$ er sann i modellen fordi $\langle \text{a}^\mathcal{M}, g(\text{b}, \text{c})^\mathcal{M} \rangle = \langle 1, g^\mathcal{M}(\text{b}^\mathcal{M}, \text{c}^\mathcal{M}) \rangle = \langle 1, g^\mathcal{M}(2, 3) \rangle = \langle 1, 3 \rangle \in Q^\mathcal{M}$.
$Q\big(\text{a}, g(\text{c}, \text{d}) \big)$ er usann i modellen fordi $\langle \text{a}^\mathcal{M}, g(\text{c}, \text{d})^\mathcal{M} \rangle = \langle 1, g^\mathcal{M}(\text{c}^\mathcal{M}, \text{d}^\mathcal{M}) \rangle = \langle 1, g^\mathcal{M}(3, 4) \rangle = \langle 1, 4 \rangle \ikkei Q^\mathcal{M}$.