Kapittel 15 – Tolkning i modeller / Tolkning av termer

Eksempel: Tolkning av termer

Hva syns du om denne videoen?
(Én stjerne er dårligst, tre stjerner er middels og fem stjerner er best.)
(Hvordan kan denne videoen bli bedre?)

Test deg selv

Gitt et språk med konstantsymboler $\text{a}, \text{b}, \text{c}, \text{d}$ og funksjonssymboler $f, g$ og en modell $\mathcal{M}$ med domene $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ slik at:

  • $\text{a}^{\mathcal{M}} = 1$, $\text{b}^{\mathcal{M}} = 2$, $\text{c}^{\mathcal{M}} = 3$, $\text{d}^{\mathcal{M}} = 4$ og
  • $f^{\mathcal{M}} = \left\{ \langle 1, 4 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 4, 3 \rangle \right\}$.

Dette betyr at $f^\mathcal{M}(1) = 4$, $f^\mathcal{M}(2) = 1$, $f^\mathcal{M}(3) = 2$ og $f^\mathcal{M}(4) = 3$; se definisjon 7.1.

La oss tolke noen termer i denne modellen.

Hva blir $f(\text{b})^\mathcal{M}$?
Hva blir $f(\text{d})^\mathcal{M}$?
Hva blir $f\big(f(\text{c})\big)^\mathcal{M}$?
Hva blir $f\big(f(\text{b})\big)^\mathcal{M}$?
Hva blir $f\big(f\big(f(\text{c})\big)\big)^\mathcal{M}$?

Test deg selv

Gitt et språk med konstantsymboler $\text{a}, \text{b}, \text{c}, \text{d}$ og funksjonssymboler $f, g$ og en modell $\mathcal{M}$ med domene $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ slik at:

  • $\text{a}^{\mathcal{M}} = 1$, $\text{b}^{\mathcal{M}} = 2$, $\text{c}^{\mathcal{M}} = 3$, $\text{d}^{\mathcal{M}} = 4$ og
  • $f^{\mathcal{M}} = \left\{ \langle 1, 4 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 4, 3 \rangle \right\}$.

Dette betyr at $f^\mathcal{M}(1) = 4$, $f^\mathcal{M}(2) = 1$, $f^\mathcal{M}(3) = 2$ og $f^\mathcal{M}(4) = 3$; se definisjon 7.1.

Vi tolker i tilegg funksjonssymbolet $g$ slik at $g^{\mathcal{M}}$ er en funksjon som tar to tall fra domenet som argumenter og gir det største av tallene som verdi. Noen av de $16$ tuplene i $g^{\mathcal{M}}$ er følgende:

  • $\big\langle \langle 1, 1 \rangle, 1 \big\rangle$, $\big\langle \langle 1, 2 \rangle, 2 \big\rangle$, $\big\langle \langle 2, 1 \rangle, 2 \big\rangle$, $\big\langle \langle 3, 4 \rangle, 4 \big\rangle$ og $\big\langle \langle 4, 1 \rangle, 4 \big\rangle$

Dette betyr blant annet at $g^\mathcal{M}(1, 2) = 2$, $g^\mathcal{M}(2, 4) = 4$ og $g^\mathcal{M}(4, 3) = 4$.

La oss tolke noen termer i denne modellen.

Hva blir $g(\text{b}, \text{c})^\mathcal{M}$?
Hva blir $g\big(\text{b}, f(\text{c})\big)^\mathcal{M}$?
Hva blir $f\big(g\big(\text{a}, f(\text{c})\big)\big)^\mathcal{M}$?
Hva blir $g\big( g(\text{a}, \text{b}), g(\text{c}, \text{d})\big)^\mathcal{M}$?