Konstantsymboler tolkes til elementer i domenet til modellen. Mulige verdier for $\text{a}^{\mathcal{M}}$ er altså $1$, $2$ eller $3$.
Definisjon: Modeller
Test deg selv
Anta at vi har en modell $\mathcal{M}$ med domene $D = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$ for et språk med signatur $\langle \text{a}, \text{b} ; f, g ; P, Q, R \rangle$.
Hvilke av disse er mulige tolkninger av konstantsymbolet $\text{a}$ i modellen, altså mulige verdier for $\text{a}^{\mathcal{M}}$?
Test deg selv
Anta at vi har en modell $\mathcal{M}$ med domene $D = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$ for et språk med signatur $\langle \text{a}, \text{b} ; f, g ; P, Q, R \rangle$.
$f(a)$ er en term i språket. Dette forteller oss hvilken aritet funksjonssymbolet $f$ har.
Hvilke av disse er mulige tolkninger av funksjonssymbolet $f$ i modellen, altså mulige verdier for $f^{\mathcal{M}}$?
$\left\{ \langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle \right\}$ er ikke en funksjon fra $D$ til $D$ siden det ikke er noe tuppel på formen $\langle 3, y \rangle$ i relasjonen.
$\left\{ \langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 3 \rangle \right\}$ er ikke en funksjon fra $D$ til $D$ siden både $\langle 2,1 \rangle$ og $\langle 2,3 \rangle$ er med i relasjonen, og $1$ ikke er lik $3$.
$\left\{ \langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 4 \rangle \right\}$ er ikke en funksjon fra $D$ til $D$ siden $4$ ikke er i $D$.
Vi ser at funksjonssymbolet $f$ har aritet $1$. $f$ skal altså tolkes som en funksjon fra $D^1 = D$ til $D$. En funksjon $f^\mathcal{M}$ fra $D$ til $D$ er en binær relasjon fra $D$ til $D$ slik at det for hver $x \in D$ er nøyaktig ett element $y \in D$ slik at $\langle x, y \rangle \in f^\mathcal{M}$.
Test deg selv
Anta at vi har en modell $\mathcal{M}$ med domene $D = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$ for et språk med signatur $\langle \text{a}, \text{b} ; f, g ; P, Q, R \rangle$.
$g(b, x)$ er en term i språket. Dette forteller oss hvilken aritet funksjonssymbolet $g$ har.
Hvilken av disse er en mulig tolkning av funksjonssymbolet $g$ i modellen, altså en mulig verdi for $g^{\mathcal{M}}$?
Vi ser at funksjonssymbolet $g$ har aritet $2$. $g$ skal altså tolkes som en funksjon fra $D^2$ til $D$. Husk at $D^2 = D \times D = \left\{ \langle 1, 1 \rangle, \langle 1, 2 \rangle, \langle 1, 3 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle \right\}$. En funksjon $g^\mathcal{M}$ fra $D^2$ til $D$ er en binær relasjon fra $D^2$ til $D$ slik at det for hver $x \in D^2$ er nøyaktig ett element $y \in D$ slik at $\langle x, y \rangle \in g^\mathcal{M}$.
Test deg selv
Anta at vi har en modell $\mathcal{M}$ med domene $D = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$ for et språk med signatur $\langle \text{a}, \text{b} ; f, g ; P, Q, R \rangle$.
$P(b)$ er en atomær formel i språket. Dette forteller oss hvilken aritet relasjonssymbolet $P$ har.
Hvilke av disse er mulige tolkninger av relasjonssymbolet $P$ i modellen, altså mulige verdier for $P^{\mathcal{M}}$?
Vi ser at $P$ har aritet $1$. $P$ skal altså tolkes som en unær relasjon på $D$, med andre ord en delmengde av $D$.
$\left\{ \langle 1, 3 \rangle, \langle 3, 1 \rangle \right\}$ er ikke en delmengde av $D$, for $D$ inneholder ingen tupler.
$\left\{ 2, 4 \right\}$ er ikke en delmengde av $D$, for $4 \notin D$.
Test deg selv
Anta at vi har en modell $\mathcal{M}$ med domene $D = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$ for et språk med signatur $\langle \text{a}, \text{b} ; f, g ; P, Q, R \rangle$.
$R(x, a, y)$ er en atomær formel i språket. Dette forteller oss hvilken aritet relasjonssymbolet $R$ har.
Hvilke av disse er mulige tolkninger av relasjonssymbolet $R$ i modellen, altså mulige verdier for $R^{\mathcal{M}}$?
Vi ser at $R$ har aritet $3$. $R$ skal altså tolkes som en $3$-ær relasjon på $D$, med andre ord en delmengde av $D^3$. $D^3$ består av alle mulige $3$-tupler der alle elementene i tuplene er elementer i $D$.