Kapitteltest – Kapittel 14
Etter å ha jobbet med kapittel 13 og 14 bør du kunne svare på disse spørsmålene:
- Hva er de ikke-logiske symbolene og de logiske symbolene til et førsteordens språk?
- Hvordan ser signaturen for førsteordens språk ut? Gis informasjon om ariteten til symbolene i signaturen?
- Hva er førsteordens termer?
- Hva er en atomær førsteordens formel?
- Hvordan bygger vi opp sammensatte førsteordens formler?
- Hva sier presedensreglene for førsteordens formler?
- Hva er et predikat?
- Hva skal til for at en førsteordensformel skal være lukket?
- Hva vil det si at en variabelforekomst i en formel er fri eller bundet?
- Hvordan representerer vi som oftest utsagn på formen «alle ... er ...» med en førsteordens formel? (Se side 163.)
- Hvordan representerer vi som oftest utsagn på formen «det finnes en ... som er ...» med en førsteordens formel? (Se side 163.)
Test deg selv
Gitt språket for beundring med signatur $\langle a,b ; ; Idol, \Liker \rangle$, der $\Idol$ har aritet $1$ og $\Liker$ har aritet $2$ (se side 161). Konstantsymbolet $a$ representerer en person som heter Alice, og konstantsymbolet $b$ representerer en person som heter Bob. Vi lar $\Idol(x)$ tolkes som «$x$ er et idol», mens $\Liker(x,y)$ tolkes som «$x$ liker $y$».
Hvilke av følgende påstander er sanne?
$\Idol(a) \lor \exists x \Liker(x,a)$ er en lukket formel i språket, for den inneholder ingen frie variabelforekomster. Det er en forekomst av variabelen $x$, og den er innenfor skopet til en eksistenskvantor, så den er bundet.
$\forall x \exists y (\Liker(x,y) \rightarrow \Idol(x))$ er en lukket formel i språket. Her er formelen $(\Liker(x,y) \rightarrow \Idol(x)$ innenfor skopet til kvantorene for $x$ og $y$, så det er ingen frie variabelforekomster.
Den siste forekomsten av variabelen $y$ i formelen $(\forall x \exists y \Liker(x,y) \rightarrow \Idol(y))$ er fri.
$\neg \forall x \Liker(x, x)$ representerer ikke utsagnet «Ingen liker seg selv». Formelen representerer bare at «Ikke alle liker seg selv». Formlene $\neg \exists x Liker(x, x)$ og $\forall x \neg \Liker(x, x)$ representerer at «Ingen liker seg selv».
$\forall x (\Liker(x, a) \land \Liker(x, b) )$ representerer utsagnet «Alle liker Alice og Bob».
$\forall x (\Liker(a,x) \rightarrow \Idol(x))$ representerer ikke utsagnet «Alice liker alle idoler», men utsagnet «Alice liker bare idoler» eller «Alle som Alice liker er idoler». Formelen $\forall x (Idol(x) \rightarrow \Liker(a,x))$ representerer utsagnet «Alice liker alle idoler».
$\exists x \forall y \Liker(x,y)$ representerer ikke utsagnet «Alle liker noen», men utsagnet «Noen liker alle». Formelen $\forall x \exists y \Liker(x,y)$ representerer utsanget «Alle liker noen». (Og formelen $\exists y \forall x \Liker(x,y)$ representerer utsanget «Det finnes en person som blir likt av alle». Rekkefølgen på kvantorene er altså viktig.)
$\neg \exists x \forall y \Liker(x,y)$ representerer utsagnet «Ingen liker alle».