La oss utvide språket i videoen slik at alle naturlige tall er konstantsymboler. Vi tolker de andre symbolene på «den naturlige måten», og tolker mindre enn- og større enn-relasjonsymbolene til å stå for ekte mindre enn- og ekte større enn-relasjonene på naturlige tall (altså slik at $(4 \lt 4)$ tolkes som usann og $(4 \lt 5)$ tolkes som sann).
Hvilken formel uttrykker at det finnes et tall som er større enn 1000 og mindre enn 2000?
Denne formelen uttrykker at hvis et tall er større enn 1000, så er det mindre enn 2000.
Denne formelen uttrykker at hvis alle tall er større enn 1000, så er alle tall mindre enn 2000.
Denne formelen uttrykker at det finnes et tall som er større enn 1000 og mindre enn 2000.
Denne formelen uttrykker at det finnes et tall som er større enn 1000 og et tall som kan være et annet enn det første som er mindre enn 2000, og altså ikke at det finnes et enkelt tall som oppfyller begge betingelsene.
Hvilken formel uttrykker at hvis et tall er mindre enn et annet tall, og dette andre tallet igjen er mindre enn et et tredje tall, så er det første tallet mindre enn det siste? (Med andre ord, hvilken formel uttrykker at ekte mindre enn-relasjonen er transitiv?)
Denne formelen uttrykker at hvis du velger tre tall så er det første mindre enn det andre og det tredje, og det andre mindre enn det tredje. Denne formelen er usann tolket på den naturlige måten.
Denne formelen uttrykker at hvis et tall er mindre enn et annet og dette andre tallet er mindre enn et tredje, så er det første tallet mindre enn det tredje.
Hvilken formel uttrykker at hvis et tall er ekte større enn et annet tall, så er ikke dette andre tallet ekte større enn det første tallet? (Med andre ord, hvilken formel uttrykker at ekte større enn-relasjonen er asymmetrisk?)
Denne formelen uttrykker at $<$ er asymmetrisk.
Denne formelen uttrykker at for alle par av tall så er det første tallet større enn det andre og det andre tallet ikke større enn det første.
Denne formelen uttrykker noe helt annet, nemlig at for alle $x$ så finnes det en $y$ slik at $(x \gt y) \rightarrow \neg(y \gt x)$. En implikasjonsformel er sann hvis det foran pilen er usant, så denne formelen er sann hvis $(x \gt y)$ er usann, det vil si at $x$ er mindre enn eller lik $y$. Det betyr at formelen i oppgaven er sann hvis alle tall har et tall som er større enn seg.
Denne formelen uttrykker at for alle tall så finnes det et tall som er mindre og ikke større.
Legg merke til at asymmetrisk og anti-symmetrisk er to forskjellige egenskaper. Her er for eksempel en formel som uttrykker at mindre enn eller er lik-relasjonen er anti-symmetrisk:
$\forall x \forall y \big( (x \leq y) \land (y \leq x) \rightarrow (x = y) \big)$