Definisjon: Atomær formel
Test deg selv
Gitt det enkle språket med signatur $\langle a; f,g; P,R \rangle$ der funksjonssymbolet $f$ og relasjonssymbolet $P$ har aritet $1$ og funksjonssymbolet $g$ og relasjonssymbolet $R$ har aritet $2$. Vi bruker her variablene $x$, $y$ og $z$.
Hvilke av disse er atomære formler i dette språket?
Dette er en term, og ikke en formel.
$a$ er et konstantsymbol, og dermed en term, og $P$ er et relasjonssymbol med aritet $1$, så $P(a)$ er en atomær formel.
$g(a, y)$ er en term, og $P$ er et relasjonssymbol med aritet $1$, så $P((g(a, y))$ er en atomær formel.
$R$ er et relasjonssymbol med aritet $2$, så $R$ alene er ikke en atomær formel. $R$ ville ha vært en atomær formel hvis $R$ hadde aritet $0$.
Her brukes relasjonssymbolet $P$ som om det hadde aritet $2$, men $P$ har aritet $1$. Derfor er ikke dette en atomær formel i dette førsteordens språket.
$f(y)$ og $f(z)$ er to termer i språket, og $R$ er et relasjonssymbol med aritet $2$, så $R(f(y), f(z))$ er en atomær formel.
Her brukes et konnektiv mellom to atomære formler, så dette er ikke en atomær førsteordens formel, men en sammensatt førsteordens formel, som vi snart skal se.
Her brukes den atomære formelen $R(x,y)$ som om det var en term, så dette er ikke en atomær formel.
$P(z)$ er en atomær formel, men $g(P(z))$ er hverken en term eller en formel.
$x$ og $g(a, f(a))$ er termer i språket, og $R$ er et relasjonssymbol med aritet $2$, så $R(x, g(a, f(a)))$ er en atomær formel.
Her brukes en kvantor, så dette er ikke en atomær formel. Det er imidlertid en sammensatt førsteordens formel, som vi snart skal se.
Test deg selv
Gitt tallteorispråket med signatur $\langle 0; s, +; = \rangle$ der funksjonssymbolet $s$ har aritet $1$ og funksjonssymbolet $+$ og relasjonssymbolet $=$ har aritet $2$. Vi bruker her variablene $x$ og $y$.
Hvilke av disse er atomære formler i dette språket? (Her brukes infiksnotasjon for funksjonssymbolet $+$ og relasjonssymbolet $=$.)
$0$ er en term og $=$ er et relasjonssymbol med aritet $2$, så $0 = 0$ er en atomær formel i språket.
Her brukes ikke noe relasjonssymbol, så dette kan ikke være en atomær formel. Dette er en term.
Her brukes heller ikke noe relasjonssymbol. Dette er også en term.
Her er $s0$ og $0$ to termer og $=$ et relasjonssymbol med aritet $2$, så dette er en atomær formel. Hvorvidt vi tror det er naturlig å tolke formelen som sann eller ikke har ingenting å si for det syntaktiske sprørsmålet om dette er en atomær formel eller ikke.
Her er $x$ og $0$ to termer og $=$ et relasjonssymbol med aritet $2$, så dette er en atomær formel.
Her er $s0 + s0$ og $ss0$ to termer og $=$ et relasjonssymbol med aritet $2$, så dette er en atomær formel.
Her brukes relasjonssymbolet $=$ to ganger, så dette kan ikke være en atomær formel.
Her er $x + y$ og $y + x$ to termer og $=$ et relasjonssymbol med aritet $2$, så dette er en atomær formel.