Kapittel 11 – Matematisk induksjon / Test deg selv

Test deg selv

Oppgave

(Denne oppgaven er omtrent lik oppgave 11.2 i boken.)

Følgende er et bevis ved matematisk induksjon for at påstanden $n^3-n$ er delelig med $3$ er sann for alle naturlige tall $n\geq 1$. Finn ut hva som skal stå i boksene.

Først viser vi basis: at holder for $n=1$. Vi setter inn for $n$ og sjekker:

  • $1^3-1=0$ er med $3$

Vi ser at påstanden er sann for $n=1$. For å bevise steget, antar vi at påstanden holder for $n=k$. Dette er vår induksjons. Vi må fra denne vise at påstanden holder for $n=k+1$. Det at påstanden holder for $n=k$ er det samme som at $k^3-k$ er delelig med $3$. Vi kan derfor anta at det finnes et naturlig tall $a$ slik at ${k^3-k}={3a}$. Fra denne antakelsen må vi vise at $(k+1)^3-(k+1)$ er delelig med $3$:

  • $(k+1)^3-(k+1)=(k^3+3k^2+3k+1)-(k+1)$ (ved å gange ut $(k+1)^3$)
  • =${(k^3-k)}+3k^2+3k$ (ved å legge til og trekke fra)
  • =${3a}+3k^2+3k$ (ved )
  • =$3(a+k^2+k)$ (ved å faktorisere)

Da må $(k+1)^3-(k+1)$ være delelig med $3$ og påstanden holder for $n=k+1$. Ved følger det at påstanden er sann for alle $n\geq 1$.