$\blacktriangle(10) = \blacktriangle(9) + 10$ $= \blacktriangle(8) + 9 + 10$ $= \blacktriangle(7) + 8 + 9 + 10$ $= 28 + 8 + 9 + 10$
De triangulære tallene
Test deg selv
Fra videoen har vi at $\blacktriangle(7) = 28$. Hva er $\blacktriangle(10)$?
Utfordring
Vi kan definere en rekursiv funksjon $\blacksquare$ fra naturlige tall til naturlige tall slik:
- $\blacksquare(0) = 0$
- $\blacksquare(n + 1) = \blacksquare(n) + 2n + 1$ for alle $n ∈ \bbN$.
Vi ser at følgende holder:
- $\blacksquare(1) = \blacksquare(0) + 2n + 1 = 0 + 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $\blacksquare(2) = \blacksquare(1) + 2n + 1 = 1 + 2 \cdot 1 + 1 = 4$
Hva blir $\blacksquare(5)$?
$\blacksquare(5) = \blacksquare(4) + 2 \cdot 4 + 1$ $= \blacksquare(4) + 9$ $= \blacksquare(3) + 2 \cdot 3 + 1 + 9$ $= \blacksquare(3) + 16$ $= \blacksquare(2) + 2 \cdot 2 + 1 + 16$ $= \blacksquare(2) + 21$ $= 4 + 21 = 25$
$\blacksquare$ er kvadratfunksjonen. $\blacksquare(x)$ gir kvadratet til $x$. $\blacksquare$ kan også defineres som $\blacksquare(x) = x^2$ der $x \in \mathbb{N}$.
Vi finner kvadrattallene i bildemengden til denne funksjonen: 0, 1, 2, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Du kan bygge opp kvadrater og se at kvadrattallene dukker opp på samme måte som de triangulære tallene dukker opp når Andreas bygger opp trekanter i videoen!
En sammenheng mellom kvadrattallene og de triangulære tallene er at et kvadrattall er summen av to etterfølgende triangulære tall, $\blacksquare(n) = \blacktriangle(n) + \blacktriangle(n-1)$ for $n > 0$, $n \in \mathbb{N}$. Kan du gi en geometrisk forklaring på denne sammenhengen? (Hint: Tenk på at en firkant kan deles opp i to trekanter.)