Den induktive definisjonen av $S$ beskriver språket $\{ \text{a}^n \text{b}^n \mid n = 0, 1, 2, ... \}$, altså språket som består av alle strenger som inneholder like mange $\text{a}$-er og $\text{b}$-er og der alle $\text{a}$-ene kommer før alle $\text{b}$-ene. Vi ser at $\Lambda \in S$ per definisjon av $S$, og videre får vi at $\text{ab} \in S$ ved å bruke «induksjonsregelen» en gang, at $\text{aabb} \in S$ ved å bruke «induksjonsregelen» en gang til, at $\text{aaabbb} \in S$ ved å bruke «induksjonsregelen» enda en gang, og så videre. Ingen av strengene $\text{a}$, $\text{bb}$, $\text{abababab}$, $\text{abba}$ er på formen $\text{a}^n \text{b}^n$ for et naturlig tall $n$.
Definisjon: Konkatenering
Test deg selv
La språket $S$ være definert som den minste mengden slik at $\Lambda \in S$, og hvis $x \in S$, så $\text{a}x\text{b} \in S$.
Hvilke av disse strengene er elementer i $S$?
Test deg selv
La språket $T$ være definert som den minste mengden slik at $\text{c} \in T$, og hvis $x \in T$, så $x\text{a} \in T$ og $\text{b}x\text{b} \in T$.
Hvilke av disse strengene er elementer i $T$?
$\text{c} \in T$ per definisjon av $T$.
$\text{ca} \in T$ fordi $\text{c} \in T$, og da er også $\text{ca} \in T$.
$\text{ac}$ er ikke en streng i $T$ fordi det etter den induktive definisjonen av $T$ ikke er mulig å lage en streng der en $\text{a}$ kommer før $\text{c}$-en i strengen.
$\text{bbbcbbb} \in T$ fordi $\text{c} \in T$, og da er også $\text{bcb} \in T$, og da er også $\text{bbcbb} \in T$, og da er også $\text{bbbcbbb} \in T$.
$\text{bcaab} \in T$ fordi $\text{c} \in T$, og da er også $\text{ca} \in T$, og da er også $\text{caa} \in T$, og da er også $\text{bcaab} \in T$.
$\text{bbcbba} \in T$ fordi $\text{c} \in T$, og da er også $\text{bcb} \in T$, og da er også $\text{bbcbb} \in T$, og da er også $\text{bbcbba} \in T$.
$\text{bb}$ er ikke en streng i $T$ fordi alle strenger i $T$ inneholder nøyaktig en $\text{c}$.
$\text{bcabb}$ er ikke en streng i $T$ fordi alle strenger i $T$ inneholder et partall antall $\text{b}$-er.
$\text{bbcabaab} \in T$ fordi $\text{c} \in T$, og da er også $\text{ca} \in T$, og da er også $\text{bcab} \in T$, og da er også $\text{bcaba} \in T$, og da er også $\text{bcabaa} \in T$, og da er også $\text{bbcabaab} \in T$.
$\text{abcb}$ er ikke en streng i $T$ fordi det etter den induktive definisjonen av $T$ ikke er mulig å lage en streng der en $\text{a}$ kommer før $\text{c}$-en i strengen.
$\Lambda$ er ikke en streng i $T$ fordi basismengden kun består av strengen $\text{c}$.
Språket $T$ er vanskelig å definere på noen annen måte enn gjennom den induktive definisjonen. Vi har to «induksjonsregler», en som lar oss ta en streng vi allerede har i språket og legge til $\text{a}$ på slutten, og en som lar oss ta en streng vi allerede har i språket og legge til en $\text{b}$ både foran og bak.