$\mathbb{N}$ er ikke lukket under subtraksjon. For eksempel er ikke $2 - 5 = -3$ et naturlig tall.
Differansen mellom to heltall er et heltall. Det samme gjelder for rasjonale og reelle tall.
Definisjon: Lukket mengde
Test deg selv
Se side 8 i boka hvis du er usikker på hvilke tall som er med i disse mengdene.
Hvilke av disse mengdene er lukket under subtraksjon?
Test deg selv
Hvilke av disse mengdene er lukket under multiplikasjon?
Produktet av to naturlige tall er et naturlig tall.
Bevis for at mengden av partall er lukket under multiplikasjon:
- Et partall $a$ kan skrives på formen $a = 2x$ der $x \in \mathbb{Z}$.
- For to vilkårlige partall $a$ og $b$ har vi $a = 2x$, $b = 2y$, $x, y \in \mathbb{Z}$.
- Da har vi $a \cdot b = 2x \cdot 2y = 4xy = 2(2xy)$.
- $c = 2xy$, produktet av $3$ heltall, er et heltall.
- $2c = 2(2xy)$ er altså et partall.
- Produktet av to partall er altså et partall.
Bevis for at mengden av oddetall er lukket under multiplikasjon:
- Et oddetall $a$ kan skrives på formen $a = 2x+1$ der $x \in \mathbb{Z}$.
- For to vilkårlige partall $a$ og $b$ har vi $a = 2x+1$, $b = 2y+1$, $x, y \in \mathbb{Z}$.
- Da har vi $a \cdot b = (2x+1) \cdot (2y+1) = 4xy+2x+2y+1 = 2(2xy+x+y)+1$.
- Produktet av $3$ heltall er et heltall, og summen av $3$ heltall er et heltall, så $c = 2xy+x+y$ er et heltall.
- $2c+1 = 2(2xy+x+y)+1$ er altså et oddetall.
- Produktet av to oddetall er altså et oddetall.
Mengden av primtall er ikke lukket under multiplikasjon. For eksempel er ikke $5 \cdot 7 = 35$ et primtall.
Test deg selv
Hvilke av disse mengdene er lukket under å ta kvadratrot?
Hverken mengden av naturlige tall eller mengden av ikke-negative rasjonale tall er lukket under å ta kvadratrot. For eksempel er $\sqrt{2}$ hverken et naturlig tall eller et rasjonalt tall. Kvadratroten av et ikke-negativt rellt tall er imidlertid et ikke-negativt reelt tall.