Mengden $A$ er en endelig mengde med tre forskjellige elementer. Kardinaliteten til $A$ er derfor lik tre.
Definisjon: Kardinalitet
Test deg selv
La $A = \{1,2,3\}$. Hva er kardinaliteten til $A$, det vil si $\left\vert{A}\right\vert$?
Test deg selv
La $A = \{1,2,3\}$. Hva er kardinaliteten til potensmengden til $A$? (Altså, hva er $\left\vert{\mathcal{P}(A)}\right\vert$?)
Potensmengden til $A$ er mengden som består av alle delmengdene av $A$. Siden $A$ har $3$ forskjellige elementer, så finnes det $2^3 = 8$ forskjellige delmengder av $A$. Kardinaliteten til potensmengden til $A$ er dermed $8$.
Test deg selv
Har mengden av naturlige tall og mengden av naturlige oddetall lik kardinalitet?
Ja, for det finnes en bijektiv funksjon (også kalt en «en-til-en korrespondanse») fra mengden av naturlige tall til mengden av naturlige oddetall: $f(x) = 2x+1$.
Oppgave
La $3\mathbb{N}$ være mengden av alle naturlige tall som er delelig på $3$. Hvilke av disse påstandene er riktig?
Dette stemmer ikke. Det er sant at $\mathbb{N}$ inneholder elementer som ikke er i $3\mathbb{N}$, men dette sier ikke noe om kardinaliteten. Mengdene har samme kardinalitet fordi de finnes en bijeksjon mellom dem.
Det stemmer, en én-til-én korrespondanse fra $\mathbb{N}$ til $3\mathbb{N}$ er $f(x) = 3\cdot x$. Og det at det finnes en slik funksjon betyr at mengdene har samme kardinalitet.
Det finnes en én-til-én korrespondanse mellom $3\mathbb{N}$ og $\mathbb{N}$, og da finnes det også bijeksjon mellom $3\mathbb{N}$ og en delmengde av $\mathbb{N}$. For eksempel kan delmengden være $3\mathbb{N}$ og funksjonen være $f(x) = x$.
Dette er riktig. For eksempel kan delmengden av $3\mathbb{N}$ være $6\mathbb{N}$ (det vil si alle naturlige tall delelige med 6), og den bijektive funksjonen $f: \mathbb{N} \rightarrow 6\mathbb{N}$, $f(x) = 6\cdot x$. Det er verdt å merke seg at fordi alle mengder er delmengder av seg selv, kunne vi også brukt eksempelet $g: \mathbb{N} \rightarrow 3\mathbb{N}$, der $g(x) = 3\cdot x$.