Definisjon av mengde og eksempler
Test deg selv
Hvilke av disse uttrykkene angir mengder?
(Kryss av de riktige alternativene, og trykk «Sjekk svar». Trykk «Vis løsning og forklaringer» til slutt for å se en forklaring og riktig svar.)
Dette angir en mengde. Alle UiO-studenter som er meldt opp til IN1150-eksamen dette semesteret er elementer i mengden. (Alle setningene her som begynner med «Mengden av» angir mengder.)
Dette er ikke en mengde. Hvis vi jobber matematisk og ser på forelesere som en type objekter, så er mengden av forelesere ved Institutt for informatikk en mengde. Mengden som har Roger Antosen som eneste element er også en mengde. (Mengder kan fint inneholde kun
et element.) Men mens mengden som inneholder Roger Antonsen som eneste element er en mengde, er Roger Antonsen selv ikke en mengde, men en person eller en foreleser, avhengig av hvilket perspektiv man har. Mens mengden som inneholder Roger Antonsen har egenskaper som antall elementer, kan personen Roger Antonsen ha egenskaper som alder og hårfarge.
$\{ 1, 3, 5, 7, 9 \}$ er en mengde, siden vi her bruker notasjonen for mengder, og lister opp elementene i mengden separert med komma i mellom krøllparenteser.
Dette angir en mengde. Alle mennesker med norsk statsborgerskap er elementer i mengden. (Alle setningene her som begynner med «Mengden av» angir mengder.)
Dette er ikke en mengde. Hvis vi snakker om «mengden av alle emner ved UiO, eller mengden av alle som studerer ved UiO, så snakker vi om mengder. Universietet i Oslo er også et element i mengden av alle universiteter.
Dette angir en mengde. Et hvert atom i universet er et element i mengden. Hvorvidt dette er en veldefinert mengde eller ikke kan riktignok diskuteres. (Alle setningene her som begynner med «Mengden av» angir mengder.)
Dette angir en (uendelig) mengde. Uendelige mengder skal vi se nærmere på i kapittel 8. Et hvert naturlig tall uten 4 som et siffer i tallet er et element i mengden. For eksempel er 5029 et element i mengden, mens 42 ikke er et element i mengden. (Alle setningene her som begynner med «Mengden av» angir mengder.)
Dette er en mengde. Alle de som alltid står opp med høyrebenet først er elementer i mengden. Hvor veldefinert mengden er (altså om det er utvetydig hvem som hører med i denne mengden og hvem som ikke gjør det) kan riktignok diskuteres.
Utfordring
En av disse påstandene er ikke sann. Ser du hvilken? (Bruk punktene i definisjonen av mengde.)
Det er sant at a er et element i mengden $\{2, a, 4, b \}$, for a er listet opp som en av elementene i mengden.
Det er sant at mengdene $\{1, 2, 3\}$ og $\{3, 2, 1\}$ er like. Rekkefølgen elementene listes opp i har ingen betydning for hvilken mengde som angis.
Riktig, det er usant at $\{2, 3\}$ er et element i mengden $\{1, 2, 3, 4\}$. Både 2 og 3 er riktignok elementer i mengden $\{1, 2, 3, 4\}$, men $\{2, 3\}$ er ikke en av de fire elementene i mengden. $\{2, 3\}$ er derimot en delmengde av $\{1, 2, 3, 4\}$. Delmengder skal vi definere senere i kapitlet!
Det er sant at disse mengdene er like. Rekkefølgen elementene listes opp i og gjentagelse av det samme elementet har ingen betydning for hvilken mengde som angis. Et objekt er enten med i en mengde eller ikke med i en mengde. Det er altså ikke noe begrep om antall forekomster av et objekt i en mengde. Hvis man skriver opp det samme elementet flere ganger mellom krøllparantensene når man angir en mengde, angir man den samme mengden som om man kun skrev opp elementet en gang. Begge disse mengdene er lik mengden $\{a, b\}$.